Comme promis je vous propose ici une mise en équation du fonctionnement du light launcher.
Pour ceux que ça intéresse :
Tout d’abord, une toupie est caractérisée par sa masse, et par son moment d’inertie autour de son axe de rotation (que j’ai déjà évoqué précédemment et qui dépend de la répartition de la masse).
Certains d’entre vous ont peut-être déjà entendu parler de la deuxième loi de Newton, du principe fondamental de la dynamique, ou encore du théorème du centre d’inertie qui dit en gros que le produit de la masse par l’accélération est égal à la somme des forces extérieures appliquées au système. On va utiliser un théorème similaire mais pour des trucs qui tournent qui s’appelle le théorème du moment cinétique, qui dit que la dérivée temporelle du moment cinétique est égale à la somme des moments des forces appliquées au système. Trouvez vous un bon cours de physique et ça sera beaucoup mieux expliqué qu’ici…
Le système étudié est l’ensemble {toupie de masse m + roue dentée du lanceur (dont on néglige la masse)}, de moment d’inertie C.
Elle est attachée sous un light launcher et est initialement au repos.
A partir de t=0 j’applique une force F constante sur le ripcord. On se place dans le repère (O,x,y,z). Voir
dessin
On calcule le moment cinétique σ de la toupie puis sa dérivée temporelle.
On calcule ensuite le moment de la force au point O. (voir
feuille de notations et
feuille de calculs)
En appliquant le théorème du moment cinétique à la toupie on trouve l’équation différentielle du mouvement qui s’intègre facilement par rapport au temps.
Donc, la relation (*) montre que la vitesse de rotation de la toupie est une fonction affine croissante du temps (et par conséquent de la longueur du ripcord). Plus le temps d’application de la force est long, plus la toupie tournera vite.
De plus, d’après l’hypothèse de roulement sans glissement au point A, on peut écrire que l’angle de rotation de la toupie est égal à l/R où l est la distance parcourue par le ripcord. La vitesse de rotation de la toupie peut donc s’écrire comme une fonction croissante de la longueur parcourue par le ripcord. On en déduit qu’un ripcord plus long permet d’obtenir des vitesses de rotation plus élevées.
D’après la relation (*), plus C est grand, plus la pente de la dérivée de θ est faible. Je vous rappelle que C est le moment d'inertie de la toupie autour de son axe de rotation z, et que C croît quand la masse est répartie plus vers l’extérieur.
Ainsi, nos résultats expliquent bien pourquoi les combos compacts (toupies avec la masse concentrée vers le centre -> C faible) ont des vitesses de rotation élevées.
L’intérêt de cette mise en équation c’est qu’en calculant la constante C pour une metal wheel donnée, on pourra connaître ses performances. Malheureusement c’est loin d’être facile, mais c’est faisable grâce à certains logiciels, et j’espère faire ça bientôt.